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16 novembre 2020

Approches bayésiennes variationnelles basées sur le processus de Dirichlet pour les problèmes inverses


Catégorie : Stagiaire


Contexte scientifique

Dans le cadre de problèmes inverses mal posés, comme la reconstruction d’images obtenues par Tomographie par Emission de Positons (TEP), une hypothèse a priori est nécessaire pour déterminer une solution non triviale. Les méthodes bayésiennes s’appuient alors sur une densité de probabilité pour modéliser cette hypothèse a priori. L’intérêt des méthodes bayésiennes repose sur leur caractère non supervisé, dans le sens où on peut estimer conjointement les paramètres de la méthode et les inconnues. Un exemple connu de densité a priori que l’on peut utiliser dans ce contexte est le mélange de gaussiennes. Celui ci est notamment utilisé comme a priori pour de l’imagerie TEP. Cependant l’inconvénient de cet a priori est que le nombre de gaussiennes du mélange doit être fixé à l’avance, ce qui remet le caractère non supervisé en cause.

Une façon de contourner ce problème est de regarder des a priori non paramètriques, [3]. Dans le cadre des approches bayésiennes non paramétriques, l’objet que l’on estime est une fonction et non un jeu de paramètres. Par exemple, on peut modéliser la répartition spatiale en imagerie TEP par le mélange d’une infinité de gaussiennes. Ce mélange forme un processus de Dirichlet.

L’avantage de cette représentation est qu’elle ne nécessite pas de déterminer en amont le nombre de gaussiennes présentes dans le mélange. L’algorithme MCMC est le plus utilisé en Bayésien non paramétrique [2]. Il est malheureusement peu performant quand l’image à estimer devient grande (environ 9000 paramètres dans le cas présent). Mais il existe une alternative en paramétrique au travers des approches bayésiennes variationnelles. Des premiers travaux en apprentissage statistique ont déjà été entrepris pour traiter le calcul des mélanges de processus de Dirichlet par des approches variationnelles [1, 4].

Dans ce stage nous nous intéresserons au développement de ces approches bayésiennes variationnelles dans le cas de problèmes inverses utilisant un a priori de type processus de Dirichlet. Nous regarderons alors comment ce travail permet d’améliorer la reconstruction pour l’imagerie de type TEP. Le candidat devra avoir un goût prononcé pour les mathématiques appliquées, et une formation en traitement du signal sera appréciée, ainsi que la connaissance de Matlab (scilab)ou Python.

Information pour la candidature

Stage de 4 à 6 mois, gratification standard de 573 euros. Lieu du stage : L2S. Une poursuite en thèse pourra être envisagée.

Encadrement :

Aurélia Fraysse, Maître de conférences HDR, L2S UMR 8506, aurelia.fraysse@l2s.centralesupelec.fr

Références

[1] David M Blei, Michael I Jordan, et al. Variational inference for dirichlet process mixtures.Bayesian analysis, 1(1) :121–143, 2006.
[2] Mame Diarra Fall, Eric Barat, Claude Comtat, Thomas Dautremer, Thierry Montagu, and Ali Mohammad-Djafari. A discrete-continuous bayesian model for emission tomography. In Image Processing (ICIP), 2011 18th IEEE International Conference on, pages 1373–1376.
[3] Zoubin Ghahramani. Probabilistic machine learning and artificial intelligence. Nature, 521(7553) :452–459, 2015.
[4] Kenneth D Morton, Peter A Torrione, and Leslie M Collins. Variational bayesian learning for mixture autoregressive models with uncertain-order. IEEE Transactions on Signal Processing,59(6) :2614–2627, 2011.

 

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