Soutenance HdR de Cédric Févotte le 13 octobre 2014, Faculté des Sciences, Nice

29 Septembre 2014

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Catégorie : Soutenance HdR

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Titre du mémoire :

Contributions à la factorisation en matrices non-négatives

Résumé :

Les données sont souvent à valeurs positives par nature, comme par exemple les intensités de pixels, les amplitudes de spectres, les nombres d'occurrence d'un événement, les quantités consommées d'un produit ou encore les notes attribuées par des personnes à des films, lieux, etc. Le traitement optimal de ces données requiert parfois un traitement sous contrainte de positivité. La factorisation en matrices non-négatives (dont l'acronyme anglais NMF, pour nonnegative matrix factorization, est généralement utilisé) est une technique de régression linéaire qui connaît une grande popularité dans les domaines de l'apprentissage statistique et du traitement du signal et des images. Elle consiste simplement à approcher une matrice à coefficients positifs comme un produit de deux autres matrices à coefficients positifs, où l'une des matrices représente un dictionnaire de motifs élémentaires caractéristiques des données et l'autre matrice contient les coefficients d'activation de ces motifs. La NMF a été appliquée à de nombreux problèmes (séparation de sources, reconnaissance de formes, fouille de données, filtrage collaboratif, etc.) dans de nombreux domaines (traitement du signal audio, imagerie hyperspectrale, analyse de données textuelles, bio-informatique, etc.).

Au cours de cette soutenance, je présenterai mes contributions à la factorisation en matrices non-négatives, sujet principal de mes recherches depuis 7 ans. Traditionnellement, la NMF est posée comme un problème de minimisation d'une mesure de dissemblance entre les données et leur approximation non-négative, à laquelle peut s'ajouter des termes de régularisation (par exemple induisant de la parcimonie ou un lissage). Aussi, je présenterai dans un premier temps, une classe d'algorithmes dit de majorisation-minimisation pour l'obtention de solutions avec la beta-divergence, une famille de mesures de dissemblance qui prend pour cas particuliers le coût quadratique, la divergence de Kullback-Leibler et la divergence d'Itakura-Saito (IS). La NMF avec cette dernière divergence a concentré une large partie de mes activités, présentée dans un second temps. La décomposition NMF du spectrogramme de puissance fondée sur la divergence IS sous-tend un modèle probabiliste génératif de la transformée de Fourier court-terme (TFCT). Dans ce modèle, la TFCT s'exprime comme une somme de composantes gaussiennes centrées et structurées par leur variance. Je montrerai en quoi ce modèle est pertinent pour la décomposition de signaux audio et présenterai des résultats de séparation d'enregistrements musicaux réels, obtenus avec une variante multicanal du modèle proposé. Enfin, dans un troisième temps je présenterai un nouvel estimateur, dit de maximum de vraisemblance marginale, reposant sur une formulation probabiliste de la NMF et sur l'intégration des coefficients d'activation. Cette approche conduit à une propriété surprenante, et encore partiellement expliquée, la régularisation automatique du rang de la factorisation. Quelques problèmes ouverts en NMF seront discutés en fin d'exposé.